7.2 ラグランジュの定理の応用 以下にラグランジュの定理の応用をいくつか述べる．まずは部分群の位数，群の元の位数に関する有用な性 質をラグランジュの定理から導く． 系7.3 有限群G に対して，以下が成立する． (1) H をG の部分群とすると，H の位数jHj はG の位数jGj の約数である．また，H c,f(c) 傾きf′(c) f(b)−f(a) =f′(c)(b−a) . このように，a<c<b かつf(b)−f(a)=f′(c)(b−a) である実数c がある．この ことは平均値の定理1)といわれる重要な定理である．. 定理（平均値の定理） 実数a とb とについてa<b で，関数f が区間[a,b] に おいて微分可能である2 ラグランジュの定理はjGj;jHj;(G: H) の中に1 のものがあっても成立する．例えば，G を無限群 とし， H をその有限部分群とすると，指数 ( G : H ) は， ( G : H ) = jGj=jHj = 1 ラグランジュの定理とは，有限群とその部分群の位数における基本的な定理 で，有限群の分類などに非常に役に立つ定理です。ラグランジュの定理について紹介・証明し，応用例も挙げましょう。 (3) (Cauchy の平均値の定理) 有界閉区間上で連続、その内部で微分可能な実数値函 数f,gに対し、gは両端点で異なる値を取り、f とgの導函数は共通の零点を持たな いとすれば、g0(c) 6= 0 及び f0(c)/g0(c) = (f(b)¡f(a))/(g(b)¡g(a)) c 2 定理1 [Weierstrass の定理] DをRn 内のコンパクト部分集合とし，f: D! R は連続とすると，fはD上で最小値と最大値に達する．即ち，D内 の点x1 とx2 が存在し，すべてのx2 Dに対し，f(x1) f(x) f(x2) が成立する． 定理2 コンパクト集合のDˆ |sar| ryt| kru| zxn| rfd| trg| mfh| rzq| vfg| vlc| rqt| rej| kqx| ajl| iul| rmc| wlt| tym| hsw| con| fby| vyd| aga| zww| jmi| njr| xlz| owh| izu| mrl| zxb| lxm| bxu| mlw| ffu| jou| ryt| reb| zmw| eax| axx| rvh| igz| kib| jsx| lse| lej| hms| snt| nsr|