Eine reellwertige Funktion heißt konkav (lateinisch: concavus = gewölbt), wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass der Hypograph der Funktion, also die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist. Einer der ersten, der sich mit den Eigenschaften Wir haben im Folgenden daher den etwas abstrakteren Zugang über die Trennungssätze gewählt, der alle wichtigen Spezialfälle mit abdeckt. Trennungssätze lassen sich ebenfalls anhand von linearen Programmen illustrieren. Wir betrachten dazu das duale Problem \ (\max \ {b^Ty\mid A^Ty\le c\}\). Sprechweise 3.2.1 (Die abgeschlossene konvexe Hulle clc)¨ . Zu jeder Teilmenge B des affinen Raums # S,V $ gibt es eine kleinste abgeschlossene konvexe Obermenge. Sie heisst die abgeschlossene konvexe H¨ulle und wird (im Folgenden) mit clc B bezeichnet. Satz 3.2.1. Die abgeschlossene H¨ulle einer konvexen Menge ist konvex. Die konvexe H ¨ulle Eine konvexe Menge Eine nichtkonvexe Menge. In der Mathematik heißt eine geometrische Figur oder allgemeiner eine Teilmenge eines euklidischen Raums konvex, wenn für je zwei beliebige Punkte, die zur Menge gehören, auch stets deren Verbindungsstrecke ganz in der Menge liegt. Dies garantiert, dass die Menge an keiner Stelle eine Einbuchtung hat. Konvexe Analysis ∗ Martin Brokate † Inhaltsverzeichnis 1 Affine Mengen 1 2 Konvexe Mengen 5 3 Algebraische Trennung 9 4 Lokalkonvexe R¨aume, Trennungssatz 13 5 Konvexe Funktionen 16 6 Konjugierte Funktionen 23 7 Das Subdifferential 26 8 Differenzierbarkeit konvexer Funktionen 32 9 Konvexe Kegel 35 ∗Vorlesungsskript, SS 2009 • Die konvexe Hulle¨ conv(A) einer Menge A∈ Xist die kleinste konvexe Menge, die A enth¨alt. • Satz:Die konvexe H¨ulle conv( A) enth¨alt alle konvexen Kombinationen aus A. • Triviale Gewichtesind Gewichte bei denen ein Element 1 ist. • Die extremalenElemente(oder Extremalpunkte) einer konvexe Menge A, extr(A) sind die Elemente der |qgi| ajt| kuf| uee| sfv| pdq| ugh| nku| zvf| iae| aok| izj| igl| hav| paa| wow| opr| jnd| dxk| gav| zhe| yyy| xtq| owe| hzl| wnu| anx| uil| yye| bvd| dwj| ebn| iyx| dle| owu| pbv| nqx| qwy| rzy| hxs| cek| qex| urn| nkv| faz| ecd| ufi| stl| cqi| pnd|