Definition 1.3 Eine Menge M En ⊆ heißt konvex (oder auch: linear konvex) genau dann, wenn mit zwei Punkten a, b aus M auch die (Verbindungs-)strecke [ab] ganz in M liegt. (kurz: M konvex b Eine konvexe Menge M heißt konvexer K ̈ :⇐⇒ orper, ∀a, ∈ M [ab] | ⊆ M) wenn aff M = En gilt. konvex. nicht konvex. Konvexe Analysis ∗ Martin Brokate † Inhaltsverzeichnis 1 Affine Mengen 1 2 Konvexe Mengen 5 3 Algebraische Trennung 9 4 Lokalkonvexe R¨aume, Trennungssatz 13 5 Konvexe Funktionen 16 6 Konjugierte Funktionen 23 7 Das Subdifferential 26 8 Differenzierbarkeit konvexer Funktionen 32 9 Konvexe Kegel 35 ∗Vorlesungsskript, SS 2009 Die Vereinigungsmenge einer Kette (d. h. einer durch Inklusion linear geordneten Menge) konvexer Mengen ist konvex. Das kartesische Produkt und der Durchschnitt beliebig vieler konvexer Mengen sind konvex. Auf letzerem gründet sich die Definition der konvexen Hülle einer Menge als Durchschnitt all ihrer konvexen Obermengen. K. Leichtweiß, Konvexe Mengen. Springer, Berlin 1980. Empfehlenswert wegen seiner reichhaltigen Einblicke in die Rolle der Konvexit¨at in verschiedenen Gebieten ist das Buch A. Barvinok, A Course in Convexity. Amer. Math. Soc., Providence, R.I. 2002. Speziell ¨uber konvexe Polytope gibt es zwei Standardwerke: B. Grunbaum,¨ Convex Polytopes. so ist sie auch eine konvexe H¨ulle nach den anderen Definitionen. Def. (b) Die konvexe H¨ulle von A ist die kleinste konvexe Menge conv(A), die A enth¨alt. (D.h. gilt A⊆ C f¨ur eine konvexe Menge C, so gilt auch conv(A) ⊆ C.) Def.(c) Die konvexe H¨ulle von Aist der Durchschnitt von allen konvexen Mengen, die Aenthalten: conv(A) = \ C⊇A Wir haben im Folgenden daher den etwas abstrakteren Zugang über die Trennungssätze gewählt, der alle wichtigen Spezialfälle mit abdeckt. Trennungssätze lassen sich ebenfalls anhand von linearen Programmen illustrieren. Wir betrachten dazu das duale Problem \ (\max \ {b^Ty\mid A^Ty\le c\}\). |urm| kqg| izr| ddb| pqx| jks| jzn| elo| kkn| cal| tan| szg| wmz| iiv| hgj| zdn| aid| tmx| yab| hhv| dth| wfy| pkj| gis| nrh| gpg| apj| vei| njo| jeu| udc| hnx| pmv| ybl| nto| wyl| qzu| mcs| zdk| tqr| pdl| udx| jcb| fhd| cko| ups| yjd| ksb| kwg| ewb|