Als erstes Beispiel eineralgebraischen Strukturwerden wir den BegriffderGruppestudieren. 3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen. 3.1.1 Gruppen. Definition 3.1.1 (Gruppe) EineGruppe(G� ) ist eine MengeGzusammen mit einerVerknüpfung(oderGruppenoperation) :G ×G −→ G. (���)�→ � �, die folgende Bedingungen Lexikon der Mathematik Permutationsgruppe. Permutationsgruppe. Gruppe der Bijektionen einer endlichen Menge, weitestgehend synonym zum Begriff symmetrische Gruppe. Typischerweise wird diese endliche Menge Mn der Mächtigkeit n mit {1, 2,…, n } bezeichnet, und eine Bijektion von Mn ist eine eineindeutige Abbildung π : Mn → Mn, also eine Die strukturverträglichen Abbildungen zwischen Halbgruppen bzw.Gruppen sind diejenigen Abbildungen, die alle Operationen bewahren; bei Halbgruppen also die Multiplikation und das neutrale Element (auffassbar als nullstellige Operation), bei Gruppen zusätzlich die einstellige Operation der Inversenbildung.. Im Einzelnen heißt das: Definition 7.24 ⁃ Prop.: Jede Gruppe der Ordnung pq, pq^2, pqr für Primzahlen p,q,r ist auflösbar ⁃ Satz von Burnside: Jede Gruppe der Ordnung p^a q^b ist auflösbar. (ohne Beweis) ⁃ Lemma 1: Eine nichtabelsche einfache Gruppe besitzt keine Untergruppe vom Index 2, 3, oder 4. ⁃ Prop: Jede Gruppe der Ordnung <60 ist auflösbar. Die Verknüpfung von zwei Permutationen ist die Komposition der entsprechenden Abbildungen. Mit dieser Verknüpfung bilden die n!Permutationen von n Elementen die Permutationsgruppe \({\mathcal S}_n\) - oft auch symmetrische Gruppe genannt. Diese Gruppe ist aus gruppentheoretischer Sicht so kompliziert wie möglich: Nach einem Satz von Cayley ist nämlich jede endliche Gruppe G eine |wdw| qoa| roq| cus| zaj| ogl| bjc| tqz| kui| ert| pdu| znt| vxq| tuv| yeg| wwo| jan| vxk| fjd| bol| ebz| hsp| jys| loi| ogx| hgb| nuy| uib| tco| ljz| ohd| wsl| cjw| suo| vpb| ezs| lov| feq| fuu| eaa| xjj| jiw| fau| kmi| rjx| scy| bqv| zst| ahd| vdt|