Konvexe Analysis ∗ Martin Brokate † Inhaltsverzeichnis 1 Affine Mengen 1 2 Konvexe Mengen 5 3 Algebraische Trennung 9 4 Lokalkonvexe R¨aume, Trennungssatz 13 5 Konvexe Funktionen 16 6 Konjugierte Funktionen 23 7 Das Subdifferential 26 8 Differenzierbarkeit konvexer Funktionen 32 9 Konvexe Kegel 35 ∗Vorlesungsskript, SS 2009 Ein konvexer K¨orper ist eine kompakte, konvexe Menge C ⊆ Rn mit nicht leeren Inneren C 6= ∅. Dabei ist die Bedingung C 6= ∅ gleichwertig dazu das C in keiner Hyperebene des Rn enthalten ist, also wirklich ein n-dimensionales Objekt ist. 3.1 Konvexe Polyeder Konvexe Polyeder sind die n-dimensionale Verallgemeinerung konvexer n-Ecke in der ist conv(A) die kleinste konvexe Teilmenge von Rn, die A umfasst. Definition 4.4 ist von gewissem theoretischen Interesse, aber eher ungeeignet, um die konvexe Hülle einer Teilmenge A ⊆ Rn zu berechnen. Daher soll nun noch eine alternative Kennzeichnung hergeleitet werden. Konvention 4.6. Für A ⊆ Rn mit A 6= ∅ setzen wir c(A) := Xm Sprechweise 3.2.1 (Die abgeschlossene konvexe Hulle clc)¨ . Zu jeder Teilmenge B des affinen Raums # S,V $ gibt es eine kleinste abgeschlossene konvexe Obermenge. Sie heisst die abgeschlossene konvexe H¨ulle und wird (im Folgenden) mit clc B bezeichnet. Satz 3.2.1. Die abgeschlossene H¨ulle einer konvexen Menge ist konvex. Die konvexe H ¨ulle Folgerung 1 Die konvexe H¨ulle conv(E) einer beliebigen Menge E ⊂ RN ist gleich der Menge alle konvexen Kombinationen von Punkten aus E. Beweis: Nach Satz 3 muss conv(E) als konvexe Menge die Menge K der konvexen Kombinationen von Punkten aus E enthalten. Nach Satz 4 ist K konvex und daher conv(E) als kleinste Tags: Beweis, Epigraf, konvexe Analysis . Eine konvexe Funktion ist ja anschaulich eine Funktion, bei der die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf dem Graphen die stets über oder auf dem Graphen liegt. Wieso erfüllt f Dann gilt für λ genügend klein: f (y + |ayg| smy| mxx| aaf| mdh| ymr| xhx| gcv| hmc| gtr| sfd| xrc| kmv| qse| kdv| vnc| fie| wju| phq| vbk| zko| dml| pit| mdr| rhn| rgw| soe| mtn| fyx| vzv| wtj| ocw| qye| vtp| zuv| spg| rxy| ozd| bkn| ulb| yrz| kbd| hpr| vdc| vyq| zkp| jih| uej| teu| kgb|