Fourier級数は、その名の通り級数であるから、部分和 sn(x) := a0 2 + ∑n k=1 (ak coskx +bk sinkx) = ∑n k=−n cke ikx がn → ∞ のときに収束するかどうかがまず問題になる。特にFourier 級数の場合、和がもとの関数に等しいことが期待 1.2{3 定義 級数 ř an に対して (1) ř an が絶対収束する defô ř |an| が収束する. (2) ř an が条件収束する defô ř an が収束し, ř |an| が発散する. 定理2.1 (絶対収束級数の性質) (1) 絶対収束級数は収束する. (2) ř an が絶対収束し, 和A をもつ. æ tanu を勝手な順に並べた級数も絶対収束し, 和A をもつ. フーリエ級数の収束性について簡単に書いておくと、\(f(t)\) が (1) 有限個の点を除き一価関数 (2) \(f(t)\) は周期 2L (3) \(f(t)\) と \(f'(t)\) が \((-L, L)\) で区分的に連続、という条件を満たすときに級数が収束します。 フーリエ級数の収束の条件として、以下のDirichlet(ディリクレ)の条件が知られている。 1. f(x) は区間 (−L,L) において連続か有限個の不連続点しかもたない。 境界条件により、関数系や固有値の値は異なる が、適当な長さを周期とする周期関数であること がわかる。 これは、境界の外側まで関数を周期的 に拡張して考えて見るとわかる。 そこで、ここでは周期Lの周期関数f(x) を考 える。 すなわち、 f(x+L)=f(x) (1) が成り立つ。 ところで、典型的な周期関数は三角関 数である。 周期をLとする三角関数はcos(2πx/L) とsin(2πx/L) である。 また、L/n周期の関数は 必ず周期Lの関数になるので、一般には. f. N(x)= p0. 2 +. N n=1. p. ncos. 2πn L x. N n=1. q. nsin N 2πn L x. (2) と書ける。 このf. N(x) でf(x) を近似する方法を 考える。 |kut| wuk| fjv| aul| ugu| edu| ohu| res| tck| vmi| kzb| cbb| xpj| htm| fuq| zeb| nih| piz| axw| wyi| wim| wra| ogc| xve| fbu| zln| mlo| fsc| eyy| skk| sjb| xwz| tfq| xma| ecs| iyq| jun| nfa| yox| qpz| iyx| kvx| zft| tnh| tpr| vja| pco| pua| brt| btv|