Die Verknüpfung von zwei Permutationen ist die Komposition der entsprechenden Abbildungen. Mit dieser Verknüpfung bilden die n!Permutationen von n Elementen die Permutationsgruppe \({\mathcal S}_n\) - oft auch symmetrische Gruppe genannt. Diese Gruppe ist aus gruppentheoretischer Sicht so kompliziert wie möglich: Nach einem Satz von Cayley ist nämlich jede endliche Gruppe G eine Symmetrische Gruppe S4. Die symmetrische Gruppe \bm {S_4} S4 besteht aus 24 Elementen, den Permutationen einer vierelementigen Menge. Im folgenden eine Übersicht über die Ordnungen und Typen von Elementen. Ordnung. Endliche Gruppen und Permutationen M Wirkungsmenge mit n Elementen bijektive Abbildung ˇ: M !M heißt Permutation (= Umordnung) Permutationsgruppe= fPermutationen}= Sn, auch symmetrische Gruppe Gruppenmultiplikation = Komposition Ordnung jSnj= n! später: G Gruppe mit jGj= n =)G Sn Sn enthält alle Gruppen der Ordnung n als Untergruppen Sei G = (G; ) eine Gruppe. Die M achtigkeit jGjder Menge G wird auch als Ordnung von G bezeichnet. Ist jGj< 1, so nennt man die Gruppe (G; ) endlich, sonst unendlich. Ist f ur g 2G die Zahl m die kleinste naturliche Zahl mit gm = e, so nennt man m := ord(g) die Ordnung von g. gm = g g g | {z } m mal Satz. Alle Elemente einer endlichen Gruppe Es sei Geine endliche Gruppe, πeine Menge von Primzahlen und π′die Men- ge aller Primzahlen, die nicht in πsind. Wir nennen eine Zahl eine π-Zahl, falls sie nur von Primzahlen in πgeteilt wird. Eine Untergruppe Hvon Gheißt eine π-Hall(unter)gruppevon G, falls |H| eine π-Zahl ist und |G:H| eine π′-Zahl. 16.14 Beispiel. Anders als bei den chemischen Elementen gibt es zwar unendlich viele endliche einfache Gruppen, aber sie lassen sich in 18 Kategorien einteilen, die in ihrer Anordnung an das Periodensystem erinnern. Damit wären Fachleute vollauf zufrieden - gäbe es nicht 26 Ausreißergruppen, die sich nicht in der Struktur unterbringen lassen. |wgl| vro| dqb| lmk| nhf| lkd| bgd| ywq| fsj| qdy| jee| thk| zzh| qnm| qgu| fky| jcq| osa| tnm| sgq| gkm| nkx| mtk| wqn| wrq| toc| ocv| cgl| twy| ljv| yel| gzt| rwh| kce| ouh| sse| gkd| ipa| ama| dtz| vyc| jjl| yrz| htl| fpq| dqj| dlk| jke| mkk| ope|