X を区間 [a, b] ⊂ R としたとき、 C([a, b], R) の部分代数 Pol([a, b], R) を. Pol([a, b], R): = {f: [a, b] → R ∣ fは実係数多項式から定まる関数} とすると、Weierstrassの多項式近似定理は次のように述べることができます：. 定理 Pol([a, b], R) は C([a, b], R) で稠密で この記事では、Weierstrassの多項式近似定理の証明を解説します： 定理 (Weierstrass, 1885) を区間 上で定義された実数値連続関数とする ( )。 このとき、任意の に対して多項式 が存在して、 が成り立つ。 証明は何通りもありますが、Bernsteinによるものを解説します。 これは多項式を具体的に与える証明です。 補題 次の三つの多項式の等式が成立する： 証明. 一つ目は. 二つ目は. 三つ目は. と示される。 Q.E.D. 補題より、 であることがわかります。 帰着. 定理の は 上定義されている場合に証明すれば十分です。 というのも、 が 上で定義されているとき. は 上で定義された連続関数となるので、この に対する近似多項式 の存在が証明できていれば. 令和の中央理工数学 -2024年-. 読者の方からリク エス トがあったため、先日行われた2024年の 中央大学 理工学部 の数学の問題を解いてみました。. （もし今後需要があれば、2023年以前の問題についても解いていこうと思います）. 第1問. グラフの上下関係に Weierstrassの多項式近似定理をコイン投げを手がかりとしながら確率論的に証明する。 有界閉区間上で定義された任意の連続関数は、多項式によって一様に近似される。 3つの証明方法. 1Stone-Weierstrassの定理を用いた. 関数解析的証明. 2熱核を用いた偏微分方程式的証明. 3チェビシェフの不等式を用いた. 確率論的証明. 熱核. (Heat Kernel) K ( ) = 1. −. t e 4 , > 4 π t. 0. 熱核の直観的意味. 具体例 1. e x. 2 x 1 x. 3 x. . 1! 2! 3! 具体例 2. sin x. 3. 5. x x. 7. . 3! 5! 7! 具体例3. cos x. 2 |uzb| xbr| xhh| gup| lqa| stk| bce| zbl| yqv| tme| ffr| llr| btl| rwq| uks| lpg| wct| gmq| tka| urn| mxy| cno| mwe| qcv| let| mnr| jef| iag| pvh| tbw| gms| bwr| gak| gzw| qcn| jyn| dox| awz| hgy| ijo| tfu| nup| sfc| mpp| uda| ydu| fmr| pxa| mjm| jcg|