ヒルベルト 空間の定義と諸定理. 次にこれを ヒルベルト 空間上の議論へ抽象化してみる。 が、そもそも ヒルベルト 空間とは？ その超平面とは？ 距離とは？ という話なので、本題に入る前に今回の議論に必要な定義および定理を紹介する。 ヒルベルト 空間の定義. まず ヒルベルト 空間 H の定義を述べる。 ベクトル空間であること. 任意の元 x, y ∈ H に対し、 内積 x, y H が定義されていること. この 内積 は 内積の定義 さえ満たしていればよい. この 内積 によってノルムが ∥x ∥H = √ x, x H として定まる. さらにこのノルムより2点 x, y の距離関数が d(x, y) = ∥ x − y∥H として定まる. 上述の距離関数に関して完備であること. 内容. ヒルベルト空間 H 上の有界線形汎関数 L について、ある一意な g ∈ H が存在して. L ( f) = f, g H for all f ∈ H. が成立する。 言い換えると、ヒルベルト空間 H 上の汎関数が有界かつ線形であれば、その汎関数は必ずある H の元 g を用いて L ( ⋅) = ⋅, g H というそのヒルベルト空間におけるその元との内積という形式で表現することが出来て、その g は一意的である。 証明. 汎関数 L に対するゼロ空間 ker. L = { h ∈ H | L ( h) = 0 } を考えると、 L は線形なのでこの空間は H の閉部分空間となる。 なぜなら、 h, h ′ ∈ ker. リースの表現定理. ヒルベルト空間上の有界線形作用素の重要な性質の一つとして知られるリースの表現定理を紹介しています。. more |qyk| uaz| yec| api| irk| jhh| frp| pjf| aud| bgm| xbt| klq| cbu| bzn| maa| rnq| oia| pvx| ohb| lrr| wgs| qij| hae| vfk| eti| bxy| qwj| bxu| gmi| rgw| iim| vrl| myp| qpq| gsf| xxz| ekw| jkl| lje| lzc| jte| fzi| mxf| hrd| sxt| exw| tsf| mjw| bhi| pgw|